双曲線に沿って近づこうとしたとき、どこから逆に離れていってしまうのか

知らない方はいないでしょうが、Endorfin.という神アーティストがいますよね。

ボーカルの透き通る声も、爽やかでキャッチーな作編曲も魅力的なのですが、個人的に特筆すべき点は歌詞だと思っています。直裁的で良い意味で巧みでない歌詞もあれば、抒情的で芸術性さえ覚えるような歌詞もあります。それから、圧倒的「かわいい」でぶん殴ってくることもあります。

さて、そんなEndorfin.なのですが彼女らの楽曲「ユリシス」にてこんな歌詞が登場します。

触れるほど赤く滲んですれ違う双曲線

(中略)

大切に想うほど逸れてゆく番いの蝶

近づこうとすればするほど、逆に遠ざかってしまう心の距離*1を、双曲線に擬えて詩的に表現した美しい歌詞ですね。

蝶は蝶で、胡蝶の夢だったりバタフライエフェクトだったりを彷彿とさせる表現がこの歌詞の前後や、同アルバムの他の曲で登場し、一曲を通して美しいので是非一度聴いてみてください。

さて、双曲線についてピンとこない小学生の読者もいるかもしれないので、軽く解説しておきます。

f:id:makuradohizato:20210126183330p:plain — 図1: 直線のグラフ

これは普通の直線のグラフです。

最初、右上と左下に人がいたと想像してください。青い線上を通って会いに行こうと思えば、簡単に会えることが分かるかと思います。

f:id:makuradohizato:20210126183823p:plain — 図2: 双曲線のグラフ

さて、これが双曲線になります。さっき同様、最初に2人が左端と右端にいたと想像してください。青い線を辿っていくと最初は近づいていきますが、途中からは逆に離れていってしまうことがわかるかと思います。

これが近づこうとすればするほど、逆に遠ざかってしまうという双曲線の性質です。

じゃあ途中で止まればよくない？

さて、ここからが本題です。双曲線はある程度より近づこうとすると逆に離れてしまいますが、それは無理して近づこうとしているからです。

f:id:makuradohizato:20210126185440p:plain — 図3: 双曲線のグラフ2

この辺で止まっておけば、頑張れば川ごしに会話くらいはできそうです(間に川が流れていたとして)。

しかし、だいたいこの辺などと曖昧な表現で2人の距離を定めてもよいものなのでしょうか。

もし我々が当事者だったらどうでしょう。1mmの妥協もなく1番近くにいられる場所を探したくないですか？

すなわち僕たちは「どこで止まれば一番近い位置にいられるのか」を知っておく必要があります。

ということで計算していきましょう。

前提条件

双曲線のグラフは通常( $\displaystyle{x=0}$ の点を考慮しなければ)、 $\displaystyle{y=\frac{a}{x}}$ と表されます( $\displaystyle{a}$ は任意の実定数)。今回もこの表式を用いて議論を進めていきます。

2人同時に近づこうとする場合

2人が同じくらい離れた場所から同時に近づく場合、すなわち片方が $\displaystyle{x=p}$ にいるときにもう片方が $\displaystyle{x=-p}$ にいるような状況をまず考えます。

この場合、2人の位置は $\displaystyle{(x,y)}$ といった表式で書くと $\displaystyle{(p,\frac{a}{p})}$ と $\displaystyle{(-p,-\frac{a}{p})}$ になります。

このときの2人の距離なのですが三平方の定理を使えばわかります(みんなにはまだ早いかな？)。

二人の距離を $\displaystyle{r}$ とすると、

$\displaystyle{r^ 2=\left\{p-(-p)\right\}^ 2+\left\{\frac{a}{p}-\left(-\frac{a}{p}\right)\right\}^ 2=4\left\{p^ 2+\left(\frac{a}{p}\right)^ 2\right\}}$

となります。

さて、ここから大人っぽく微分してもいいのですが、ちょっとオシャレに平方完成してみましょう。

$\displaystyle{ r^2=4 \left( 2p \pm \frac{a}{p} \right) ^2 \mp 16a }$

こういうタイプの平方完成は初めて見たかもしれませんが、2乗を展開したらプラスマイナスの部分は消えるようになってるので、どっちでも同じです。

$\displaystyle{\mp 16a}$ の部分は位置 $\displaystyle{(p)}$ に関係ないので放っておきましょう。 $\displaystyle{4 \left( 2p \pm \frac{a}{p} \right) ^2}$ が一番小さくなるとき、要するに $\displaystyle{2p\pm\frac{a}{p}=0}$ となるときの位置 $\displaystyle{(p)}$ にいる時に2人の距離が一番近くなります。

式を整理すれば

$\displaystyle{ p^2=\mp\frac{a}{2} }$

となりますが、 $\displaystyle{\mp a \lt 0}$ のときは明らかに当てはまる $\displaystyle{p}$ がないので $\displaystyle{\mp a > 0}$ 、もっと言うと $\displaystyle{\mp a \rightarrow |a|}$ としてしまって良いでしょう。つまり